令和5年 大問2：2次方程式・方程式の利用・数の性質 の問題一覧に戻る
3. 99をたしても各位の和が変わらない証明
全 5 ステップ
💡 使う知識3けたの数の文字式 100a+10b+c位取りと繰り上がり・繰り下がり
【元の問題文】
次の先生と生徒の会話文を読んで、生徒が完成させた【証明】の ① から ⑤ に当てはまる数や式をそれぞれ答えなさい。
先生「一の位が0でない900未満の3けたの自然数をMとし、Mに99をたしてできる自然数をNとすると、Mの各位の数の和とNの各位の数の和は同じ値になるという性質があります。例として583で確かめてみましょう。」
生徒「583の各位の数の和は 5+8+3=16 です。583に99をたすと682となるので、各位の数の和は 6+8+2=16 で同じ値になりました。」
先生「そうですね。それでは、Mの百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ として、この性質を証明してみましょう。 のとりうる値の範囲に気をつけて、MとNをそれぞれ を用いて表すとどうなりますか。」
生徒「Mは表せそうですが、NはM+99で…、各位の数がうまく表せません。」
先生「99を 100−1 におきかえて考えてみましょう。」
【証明】
3けたの自然数Mの百の位、十の位、一の位の数をそれぞれ とすると、 は1以上8以下の整数、 は0以上9以下の整数、 は1以上9以下の整数となる。
このとき、M ＝ ［①］× ＋［②］× ＋ と表せる。
また、N＝M＋99 より
N ＝［①］× ＋［②］× ＋ ＋ 100 − 1 となるから
N ＝［①］×（［③］）＋［②］×［④］＋［⑤］となり、
Nの百の位の数は［③］、十の位の数は［④］、一の位の数は［⑤］となる。
よって、Mの各位の数の和とNの各位の数の和はそれぞれ となり、同じ値になる。
STEP 1 / 5
① 3けたの数を文字で表す（①②）
583 ＝ 100×5 ＋ 10×8 ＋ 3 のように、各位の数に位の大きさをかけて足します。
①、②に当てはまる数の組は？